ID: 00009783
Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB$. Точка $M$ — середина стороны $AD$. Докажите, что $BM$ — биссектриса угла $ABC$.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. половина большей стороны равна меньшей — появляется равнобедренный треугольник.
В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD$ вдвое больше стороны $AB$, а точка $M$ — середина стороны $AD$.
Тогда $AM=\dfrac{1}{2}AD=AB$, поэтому треугольник $AMB$ равнобедренный ($AM=AB$).
В равнобедренном треугольнике углы при основании $MB$ равны: $\angle AMB=\angle ABM$.
Так как $AD\parallel BC$, при секущей $BM$ накрест лежащие углы равны: $\angle AMB=\angle CBM$.
Сопоставляя с предыдущим равенством, получаем $\angle ABM=\angle CBM$ — это две части угла $ABC$ при вершине $B$. Значит $BM$ делит угол $ABC$ пополам, то есть является его биссектрисой, что и требовалось доказать.