Global EE

Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00009783

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Четырёхугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00009783

Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB$. Точка $M$ — середина стороны $AD$. Докажите, что $BM$ — биссектриса угла $ABC$.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. половина большей стороны равна меньшей — появляется равнобедренный треугольник.

В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD$ вдвое больше стороны $AB$, а точка $M$ — середина стороны $AD$.

Тогда $AM=\dfrac{1}{2}AD=AB$, поэтому треугольник $AMB$ равнобедренный ($AM=AB$).

В равнобедренном треугольнике углы при основании $MB$ равны: $\angle AMB=\angle ABM$.

Так как $AD\parallel BC$, при секущей $BM$ накрест лежащие углы равны: $\angle AMB=\angle CBM$.

Сопоставляя с предыдущим равенством, получаем $\angle ABM=\angle CBM$ — это две части угла $ABC$ при вершине $B$. Значит $BM$ делит угол $ABC$ пополам, то есть является его биссектрисой, что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: $BM$ — биссектриса угла $ABC$ — так как $AM=\dfrac{1}{2}AD=AB$, треугольник $ABM$ равнобедренный ($\angle AMB=\angle ABM$), а при $AD\parallel BC$ угол $AMB$ равен накрест лежащему $CBM$, откуда $\angle ABM=\angle CBM$
Другие задания по теме «Четырёхугольники и их элементы» (8)