ID: 00009782
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади трапеции.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. точка средней линии одинаково удалена от обоих оснований — сумма площадей выходит половиной.
Пусть основания трапеции ABCD равны a=BC и b=AD, высота равна h; площадь S=\dfrac{a+b}{2}\,h.
Точка K лежит на средней линии, поэтому она удалена от обоих оснований на одно и то же расстояние \dfrac{h}{2}.
Высота треугольника с вершиной K и основанием BC равна \dfrac{h}{2}, поэтому его площадь равна \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot\dfrac{h}{2}.
Аналогично площадь треугольника с вершиной K и основанием AD равна \dfrac{1}{2}\cdot b\cdot\dfrac{h}{2}.
Сумма площадей: \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{h}{2}(a+b)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a+b}{2}\,h=\dfrac{1}{2}S — половина площади трапеции, что и требовалось доказать.