Global EE

Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00009782

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Треугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00009782

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $K$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BKC$ и $AKD$ равна половине площади трапеции.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. точка средней линии одинаково удалена от обоих оснований — сумма площадей выходит половиной.

Пусть основания трапеции $ABCD$ равны $a=BC$ и $b=AD$, высота равна $h$; площадь $S=\dfrac{a+b}{2}\,h$.

Точка $K$ лежит на средней линии, поэтому она удалена от обоих оснований на одно и то же расстояние $\dfrac{h}{2}$.

Высота треугольника с вершиной $K$ и основанием $BC$ равна $\dfrac{h}{2}$, поэтому его площадь равна $\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot\dfrac{h}{2}$.

Аналогично площадь треугольника с вершиной $K$ и основанием $AD$ равна $\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot\dfrac{h}{2}$.

Сумма площадей: $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{h}{2}(a+b)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a+b}{2}\,h=\dfrac{1}{2}S$ — половина площади трапеции, что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: $S_{BKC}+S_{AKD}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}$ — точка $K$ на средней линии удалена от обоих оснований на $\dfrac{h}{2}$, поэтому $\dfrac{1}{2}BC\cdot\dfrac{h}{2}+\dfrac{1}{2}AD\cdot\dfrac{h}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{BC+AD}{2}\,h=\dfrac{1}{2}S$
Другие задания по теме «Треугольники и их элементы» (8)