Окружности

Задание №23. Усложненные геометрические задачи

№2. Задание 23

ID: 00009775

Окружность пересекает стороны $$AB$$ , $$AC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$K$$ , $$P$$ соответственно и проходит через вершины $$B$$ , $$C$$ . Найдите длину отрезка $$KP$$ , если $$AK = 14$$ , а сторона $$AC$$ в $$2$$ раза больше стороны $$BC$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Окружность проходит через вершины $$B$$ и $$C$$ и пересекает стороны $$AB$$ , $$AC$$ в точках $$K$$ и $$P$$ ; сторона $$AC$$ в $$2$$ раза больше стороны $$BC$$ .

Четырёхугольник $$KBCP$$ вписан в окружность, поэтому его внешний угол при $$K$$ равен внутреннему при $$C$$ : $\angle AKP=\angle ACB$ . Угол $$A$$ — общий.

Значит $\triangle AKP\sim\triangle ACB$ , и соответственные стороны пропорциональны.

Отсюда $\dfrac{KP}{BC}=\dfrac{AK}{AC}$ . Поскольку $$AK=14$$ , а $$AC$$ в $$2$$ раза больше $$BC$$ , получаем $KP=\dfrac{14}{2}=7$ .

Длина отрезка $$KP$$ равна $$7$$ .

Ответ

$$7$$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Окружности» (8)