ID: 00009775
Окружность пересекает стороны $AB$, $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$, $P$ соответственно и проходит через вершины $B$, $C$. Найдите длину отрезка $KP$, если $AK = 14$, а сторона $AC$ в $2$ раза больше стороны $BC$.
Источник: ФИПИ
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ и пересекает стороны $AB$, $AC$ в точках $K$ и $P$; сторона $AC$ в $2$ раза больше стороны $BC$.
Четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, поэтому его внешний угол при $K$ равен внутреннему при $C$: $\angle AKP=\angle ACB$. Угол $A$ — общий.
Значит $\triangle AKP\sim\triangle ACB$, и соответственные стороны пропорциональны.
Отсюда $\dfrac{KP}{BC}=\dfrac{AK}{AC}$. Поскольку $AK=14$, а $AC$ в $2$ раза больше $BC$, получаем $KP=\dfrac{14}{2}=7$.
Длина отрезка $KP$ равна $7$.
$7$