ID: 00009582
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите BC, если AD = 12, углы C, D четырёхугольника равны соответственно 102^{\circ}, 72^{\circ}.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. середина, равноудалённая от вершин, — это центр окружности, а сторона — её диаметр.
Середина M стороны AD равноудалена от всех вершин, поэтому все вершины лежат на окружности радиуса \dfrac{AD}{2}=6 с центром M; значит AD — диаметр этой окружности.
Так как AD — диаметр, вписанные углы \angle ABD и \angle ACD опираются на диаметр и равны 90^\circ.
Зная углы C=102^\circ и D=72^\circ четырёхугольника, найдём дуги и центральные углы, на которые опираются стороны, и определим длину хорды BC.
Вычисление даёт BC=6\sqrt{3}.
6\sqrt{3}