ID: 00009280
Баржа прошла по течению реки 72 \text{км} и, повернув обратно, прошла ещё 54 \text{км}, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 \text{км}/\text{ч}.
Источник: ФИПИ
Это задача на движение по воде. Обозначим собственную скорость баржи (скорость в неподвижной воде) за v км/ч; по смыслу v>5, иначе баржа не пойдёт против течения.
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км | |
|---|---|---|---|
| По течению | v+5 | \dfrac{72}{v+5} | 72 |
| Против течения | v-5 | \dfrac{54}{v-5} | 54 |
По течению река помогает, поэтому скорость баржи там v+5 км/ч; против течения река мешает, и скорость равна v-5 км/ч.
Время — это путь, делённый на скорость. По течению баржа прошла 72 км за \dfrac{72}{v+5} ч, а против течения 54 км за \dfrac{54}{v-5} ч.
Весь путь занял 9 ч, поэтому сумма времён равна 9:
\dfrac{72}{v+5}+\dfrac{54}{v-5}=9.
Умножим обе части на (v+5)(v-5)=v^2-25 и раскроем скобки:
72(v-5)+54(v+5)=9(v^2-25).
После приведения подобных получаем квадратное уравнение v^2-14v-15=0.
По теореме Виета его корни v=15 и v=-1. Отрицательный корень не подходит по смыслу, поэтому v=15.
Проверим: скорости 20 и 10 км/ч, тогда время \dfrac{72}{20}+\dfrac{54}{10}=9 ч — совпало с условием.
Собственная скорость баржи равна 15 км/ч.
15 \text{км}/\text{ч}