ID: 00009279
Баржа прошла по течению реки $88$ $\text{км}$ и, повернув обратно, прошла ещё $72$ $\text{км}$, затратив на весь путь $10$ часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна $5$ $\text{км}/\text{ч}$.
Источник: ФИПИ
Это задача на движение по воде. Обозначим собственную скорость баржи (скорость в неподвижной воде) за $v$ км/ч; по смыслу $v>5$, иначе баржа не пойдёт против течения.
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км |
|---|---|---|---|
По течению | $v+5$ | $\dfrac{88}{v+5}$ | $88$ |
Против течения | $v-5$ | $\dfrac{72}{v-5}$ | $72$ |
По течению река помогает, поэтому скорость баржи там $v+5$ км/ч; против течения река мешает, и скорость равна $v-5$ км/ч.
Время — это путь, делённый на скорость. По течению баржа прошла $88$ км за $\dfrac{88}{v+5}$ ч, а против течения $72$ км за $\dfrac{72}{v-5}$ ч.
Весь путь занял $10$ ч, поэтому сумма времён равна $10$:
$$\dfrac{88}{v+5}+\dfrac{72}{v-5}=10.$$
Умножим обе части на $(v+5)(v-5)=v^2-25$ и раскроем скобки:
$$88(v-5)+72(v+5)=10(v^2-25).$$
После приведения подобных получаем квадратное уравнение $v^2-16v-17=0$.
По теореме Виета его корни $v=17$ и $v=-1$. Отрицательный корень не подходит по смыслу, поэтому $v=17$.
Проверим: скорости $22$ и $12$ км/ч, тогда время $\dfrac{88}{22}+\dfrac{72}{12}=10$ ч — совпало с условием.
Собственная скорость баржи равна $17$ км/ч.
$17$ $\text{км}/\text{ч}$