ID: 00006396
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $18$ и $6$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$ . Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB = 10$.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. сумма углов $90^\circ$ распрямляет боковые стороны; дальше работаем с касательной к окружности.
Сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, поэтому если продолжить боковые стороны до пересечения, они образуют прямой угол; отрезок между серединами оснований равен полуразности оснований $\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{18-6}{2}=6$.
Окружность проходит через $A$ и $B$ и касается прямой $CD$; её радиус найдём, опираясь на касание (степень точки/касательная) и на найденную полуразность оснований.
Проведя расчёт через касательную к окружности и прямоугольный треугольник со стороной $AB=10$ и полуразностью оснований $6$, получаем радиус окружности.
Искомый радиус равен $10$.
$10$