ID: 00006393
Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D – на второй. При этом AC и BD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD .
Источник: ФИПИ
💡 Идея. расстояние между касательными-хордами найдём из подобия с радиусами.
Пусть окружности с центрами O_1, O_2 и радиусами 45 и 90 касаются в точке P; AC и BD — их общие касательные, A,B на первой, C,D на второй.
Прямые AB и CD — это хорды, соединяющие точки касания на каждой окружности; обе перпендикулярны линии центров O_1O_2 по симметрии конфигурации, значит AB\parallel CD.
Расстояние между параллельными прямыми AB и CD равно сумме расстояний от точки касания P до каждой из них; эти расстояния находятся из подобия прямоугольных треугольников с радиусами r_1 и r_2 и общей касательной.
Итоговая формула для расстояния между AB и CD: d=\dfrac{4r_1 r_2}{r_1+r_2}.
Подставляем: d=\dfrac{4\cdot 45\cdot 90}{45+90}=\dfrac{16200}{135}=120.
120