Четырёхугольник ABCD со сторонами AB равно 40 и CD равно 10 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB равно 60 в степени °. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Name: Видеоразбор: Задание 25 ОГЭ по математике №00006392
Description: Четырёхугольник ABCD со сторонами AB равно 40 и CD равно 10 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB равно 60 в степени °. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

10 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента

Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00006392

Задание №25. Геометрические задачи повышенной сложности

Комбинация многоугольников и окружностей

№2. Задание 25

ID: 00006392

Четырёхугольник $$ABCD$$ со сторонами $$AB = 40$$ и $$CD=10$$ вписан в окружность. Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$K$$ , причём $∠AKB = 60^\circ$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. угол между диагоналями задаёт сумму дуг; через формулу хорды выразим радиус.

Угол между диагоналями равен полусумме дуг, на которые опираются его стороны: $\angle AKB=\dfrac{1}{2}(\smile AB+\smile CD)=60^\circ$ , поэтому $\smile AB+\smile CD=120^\circ$ .

Обозначим $\smile AB=2\alpha$ , $\smile CD=2\beta$ , тогда $\alpha+\beta=60^\circ$ . По формуле хорды $AB=2R\sin\alpha$ , $CD=2R\sin\beta$ .

Подставим в выражение $AB^2+CD^2+AB\cdot CD$ и воспользуемся тем, что $\alpha+\beta=60^\circ$ (то есть $\cos(\alpha+\beta)=\tfrac12$ ): после преобразования $AB^2+CD^2+AB\cdot CD=3R^2$ .

Значит $R^2=\dfrac{AB^2+CD^2+AB\cdot CD}{3}=\dfrac{40^2+10^2+40\cdot10}{3}=\dfrac{2100}{3}=700$ .

Отсюда радиус $R=10\sqrt{7}$ .

Ответ

$10\sqrt{7}$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Комбинация многоугольников и окружностей» (8)