ID: 00006392
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 40 и CD=10 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60^\circ . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. угол между диагоналями задаёт сумму дуг; через формулу хорды выразим радиус.
Угол между диагоналями равен полусумме дуг, на которые опираются его стороны: \angle AKB=\dfrac{1}{2}(\smile AB+\smile CD)=60^\circ, поэтому \smile AB+\smile CD=120^\circ.
Обозначим \smile AB=2\alpha, \smile CD=2\beta, тогда \alpha+\beta=60^\circ. По формуле хорды AB=2R\sin\alpha, CD=2R\sin\beta.
Подставим в выражение AB^2+CD^2+AB\cdot CD и воспользуемся тем, что \alpha+\beta=60^\circ (то есть \cos(\alpha+\beta)=\tfrac12): после преобразования AB^2+CD^2+AB\cdot CD=3R^2.
Значит R^2=\dfrac{AB^2+CD^2+AB\cdot CD}{3}=\dfrac{40^2+10^2+40\cdot10}{3}=\dfrac{2100}{3}=700.
Отсюда радиус R=10\sqrt{7}.
10\sqrt{7}