Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00006386

💡 Идея. вписанная окружность даёт равенство сумм сторон — отсюда найдём основания и высоту.

В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, значит суммы противоположных сторон равны: сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна половине периметра, $200:2=100$.

Боковые стороны равны (трапеция равнобедренная), поэтому каждая равна $200:4=50$.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$. Полусумма оснований равна $50$, поэтому высота $h=\dfrac{2000}{50}=40$.

Из боковой стороны и высоты найдём разность оснований: проекция боковой стороны равна $\sqrt{50^2-40^2}=30$, значит $a-b=60$.

С учётом $a+b=100$ получаем основания $a=80$ и $b=20$.

Точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении оснований $b:a$, считая от меньшего основания. Расстояние до меньшего основания равно $h\cdot\dfrac{b}{a+b}=40\cdot\dfrac{20}{100}=8$.