ID: 00006385
Точка $K$ – середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$ . Докажите, что площадь треугольника $KAB$ равна половине площади трапеции.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. треугольник с вершиной в середине боковой стороны отнимает у трапеции ровно половину.
Обозначим основания трапеции $ABCD$ через $a$ и $b$, а высоту трапеции — через $h$; её площадь $S=\dfrac{a+b}{2}\,h$.
Точка $K$ — середина боковой стороны $CD$, поэтому она лежит на средней линии и удалена от каждого основания на $\dfrac{h}{2}$.
Кроме треугольника $KAB$, трапеция складывается ещё из двух треугольников с вершиной $K$ и основаниями-сторонами трапеции; найдём их площади.
У треугольника с основанием $a$ высота из $K$ равна $\dfrac{h}{2}$, его площадь $\dfrac{1}{2}\,a\cdot\dfrac{h}{2}=\dfrac{a h}{4}$; у треугольника с основанием $b$ высота тоже $\dfrac{h}{2}$, площадь $\dfrac{b h}{4}$.
Тогда $S_{KAB}=S-\dfrac{a h}{4}-\dfrac{b h}{4}=\dfrac{a+b}{2}\,h-\dfrac{a+b}{4}\,h=\dfrac{a+b}{4}\,h=\dfrac{1}{2}S$ — площадь треугольника равна половине площади трапеции, что и требовалось доказать.