Задание 24 ОГЭ по математике: Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD…

№2. Задание 24

ID: 00006383

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что отрезки $AE$ и $CF$ равны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. половины диагоналей равны, а углы — вертикальные и накрест лежащие; треугольники равны.

Пусть прямая проходит через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ и пересекает противоположные стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ .

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO=CO$ .

Рассмотрим треугольники $AOE$ и $COF$ : $AO=CO$ , углы при вершине $O$ равны как вертикальные, а $\angle OAE=\angle OCF$ как накрест лежащие при $AB\parallel CD$ .

Значит треугольники $AOE$ и $COF$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников следуют равные соответствующие стороны $AE=CF$ , что и требовалось доказать.