ID: 00006383
Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что отрезки $AE$ и $CF$ равны.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. половины диагоналей равны, а углы — вертикальные и накрест лежащие; треугольники равны.
Пусть прямая проходит через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ и пересекает противоположные стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$.
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO=CO$.
Рассмотрим треугольники $AOE$ и $COF$: $AO=CO$, углы при вершине $O$ равны как вертикальные, а $\angle OAE=\angle OCF$ как накрест лежащие при $AB\parallel CD$.
Значит треугольники $AOE$ и $COF$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Из равенства треугольников следуют равные соответствующие стороны $AE=CF$, что и требовалось доказать.