Задание 24 ОГЭ по математике: Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни…

№2. Задание 24

ID: 00006382

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $a:b$ . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $a:b$ .

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. радиусы в точки касания дают подобные прямоугольные треугольники.

Пусть внутренняя общая касательная окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$ касается их в точках $P_1$ и $P_2$ и пересекает отрезок $O_1O_2$ в точке $T$ .

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $O_1P_1\perp P_1P_2$ и $O_2P_2\perp P_1P_2$ .

Значит прямоугольные треугольники $O_1P_1T$ и $O_2P_2T$ имеют по равному (вертикальному) углу при точке $T$ и прямые углы, поэтому они подобны.

Из подобия $\dfrac{O_1P_1}{O_2P_2}=\dfrac{O_1T}{O_2T}$ , то есть отношение радиусов равно отношению, в котором точка $T$ делит отрезок центров, — а это $a:b$ .

Диаметры вдвое больше радиусов, поэтому их отношение тоже равно $a:b$ , что и требовалось доказать.