Окружности… — Задание 24 ОГЭ по математике №00006382

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Окружности и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00006382

Окружности с центрами в точках $$P$$ и $$Q$$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $$a:b$$ . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $$a:b$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. радиусы в точки касания дают подобные прямоугольные треугольники.

Пусть внутренняя общая касательная окружностей с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ касается их в точках $$P_1$$ и $$P_2$$ и пересекает отрезок $$O_1O_2$$ в точке $$T$$ .

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $O_1P_1\perp P_1P_2$ и $O_2P_2\perp P_1P_2$ .

Значит прямоугольные треугольники $$O_1P_1T$$ и $$O_2P_2T$$ имеют по равному (вертикальному) углу при точке $$T$$ и прямые углы, поэтому они подобны.

Из подобия $\dfrac{O_1P_1}{O_2P_2}=\dfrac{O_1T}{O_2T}$ , то есть отношение радиусов равно отношению, в котором точка $$T$$ делит отрезок центров, — а это $$a:b$$ .

Диаметры вдвое больше радиусов, поэтому их отношение тоже равно $$a:b$$ , что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: диаметры относятся как

$a:b$

— радиусы в точки касания перпендикулярны общей касательной, поэтому прямоугольные треугольники с вершиной в точке деления

$T$

подобны (вертикальные углы), откуда отношение радиусов равно

$O_1T:O_2T=a:b$

, а диаметры вдвое больше

Видеоразбор

Другие задания по теме «Окружности и их элементы» (8)