ID: 00006381
Окружности с центрами в точках $M$ и $N$ пересекаются в точках $S$ и $T$ , причём точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $ST$. Докажите, что прямые $MN$ и $ST$ перпендикулярны.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. оба центра равноудалены от концов общей хорды — значит лежат на её серединном перпендикуляре.
Точка $M$ — центр первой окружности, поэтому $MS=MT$ как радиусы; значит $M$ равноудалена от концов отрезка $ST$ и лежит на его серединном перпендикуляре.
Точка $N$ — центр второй окружности, поэтому $NS=NT$ как радиусы; значит $N$ тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $ST$.
Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому прямая $MN$ совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку $ST$.
Серединный перпендикуляр по определению перпендикулярен отрезку $ST$.
Следовательно, прямые $MN$ и $ST$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.