Задание 24 ОГЭ по математике: Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T…

№2. Задание 24

ID: 00006381

Окружности с центрами в точках $M$ и $N$ пересекаются в точках $S$ и $T$ , причём точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $ST$ . Докажите, что прямые $MN$ и $ST$ перпендикулярны.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

💡 Идея. оба центра равноудалены от концов общей хорды — значит лежат на её серединном перпендикуляре.

Точка $M$ — центр первой окружности, поэтому $MS=MT$ как радиусы; значит $M$ равноудалена от концов отрезка $ST$ и лежит на его серединном перпендикуляре.

Точка $N$ — центр второй окружности, поэтому $NS=NT$ как радиусы; значит $N$ тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $ST$ .

Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому прямая $MN$ совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку $ST$ .

Серединный перпендикуляр по определению перпендикулярен отрезку $ST$ .

Следовательно, прямые $MN$ и $ST$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.