Окружности… — Задание 24 ОГЭ по математике №00006381

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Окружности и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00006381

Окружности с центрами в точках $$M$$ и $$N$$ пересекаются в точках $$S$$ и $$T$$ , причём точки $$M$$ и $$N$$ лежат по одну сторону от прямой $$ST$$ . Докажите, что прямые $$MN$$ и $$ST$$ перпендикулярны.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

💡 Идея. оба центра равноудалены от концов общей хорды — значит лежат на её серединном перпендикуляре.

Точка $$M$$ — центр первой окружности, поэтому $$MS=MT$$ как радиусы; значит $$M$$ равноудалена от концов отрезка $$ST$$ и лежит на его серединном перпендикуляре.

Точка $$N$$ — центр второй окружности, поэтому $$NS=NT$$ как радиусы; значит $$N$$ тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$ST$$ .

Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому прямая $$MN$$ совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку $$ST$$ .

Серединный перпендикуляр по определению перпендикулярен отрезку $$ST$$ .

Следовательно, прямые $$MN$$ и $$ST$$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: прямые

$MN$

$ST$

перпендикулярны — точки

$M$

$N$

равноудалены от концов хорды

$ST$

(как радиусы), поэтому прямая

$MN$

совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку

$ST$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Окружности и их элементы» (8)