ID: 00006379
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $CDB$ и $CAB$ равны. Докажите, что углы $BCA$ и $BDA$ также равны.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. если из двух точек отрезок виден под равными углами, все точки лежат на одной окружности.
Углы $CDB$ и $CAB$ равны и опираются на один и тот же отрезок $CB$, а их вершины $D$ и $A$ лежат по одну сторону от прямой $CB$.
Если из двух точек отрезок виден под равными углами и точки лежат по одну сторону от него, то эти точки и концы отрезка лежат на одной окружности (геометрическое место точек, из которых отрезок виден под данным углом).
Значит все вершины $ABCD$ лежат на одной окружности — около четырёхугольника можно описать окружность.
Тогда углы $BCA$ и $BDA$ — вписанные, и оба опираются на одну и ту же дугу $BA$.
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому $\angle BCA=\angle BDA$, что и требовалось доказать.