Global EE

Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00006377

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Треугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00006377

В остроугольном треугольнике  $ABC$  проведены высоты  $AA_{1}$  и  $CC_{1}$ . Докажите, что углы $CC_{1}A_{1}$

 и $CAA_{1}$ равны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. основания высот лежат на окружности с диаметром-стороной — отсюда равные углы.

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_{1}$ и $CC_{1}$ из вершин $A$ и $C$; их основания — $A_{1}$ и $C_{1}$.

Высота перпендикулярна стороне, поэтому углы $AA_{1}C$ и $CC_{1}A$ прямые — из точек $A_{1}$ и $C_{1}$ отрезок $AC$ виден под прямым углом.

Значит точки $A_{1}$ и $C_{1}$ лежат на окружности с диаметром $AC$, и четырёхугольник с вершинами $A,C,A_{1},C_{1}$ вписанный.

Углы $CC_{1}A_{1}$ и $CAA_{1}$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны между собой, что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: $\angle CC_1A_1=\angle CAA_1$ — основания высот $A_1$ и $C_1$ видят сторону $AC$ под прямым углом и лежат на окружности с диаметром $AC$, а в этом вписанном четырёхугольнике оба угла опираются на одну и ту же дугу

Видеоразбор

Другие задания по теме «Треугольники и их элементы» (8)