В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA индекс 1 и CC индекс 1 . Докажите, что углы CC индекс 1 A индекс 1 и CAA индекс 1 равны.

Задание 24 ОГЭ по математике: В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA индекс 1 и…

ID: 00006377

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_{1}$ и $CC_{1}$ . Докажите, что углы $CC_{1}A_{1}$

и $CAA_{1}$ равны.

Источник: ФИПИ

💡 Идея. основания высот лежат на окружности с диаметром-стороной — отсюда равные углы.

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_{1}$ и $CC_{1}$ из вершин $A$ и $C$ ; их основания — $A_{1}$ и $C_{1}$ .

Высота перпендикулярна стороне, поэтому углы $AA_{1}C$ и $CC_{1}A$ прямые — из точек $A_{1}$ и $C_{1}$ отрезок $AC$ виден под прямым углом.

Значит точки $A_{1}$ и $C_{1}$ лежат на окружности с диаметром $AC$ , и четырёхугольник с вершинами $A,C,A_{1},C_{1}$ вписанный.

Углы $CC_{1}A_{1}$ и $CAA_{1}$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны между собой, что и требовалось доказать.