ID: 00006377
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_{1}$ и $CC_{1}$ . Докажите, что углы $CC_{1}A_{1}$
и $CAA_{1}$ равны.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. основания высот лежат на окружности с диаметром-стороной — отсюда равные углы.
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_{1}$ и $CC_{1}$ из вершин $A$ и $C$; их основания — $A_{1}$ и $C_{1}$.
Высота перпендикулярна стороне, поэтому углы $AA_{1}C$ и $CC_{1}A$ прямые — из точек $A_{1}$ и $C_{1}$ отрезок $AC$ виден под прямым углом.
Значит точки $A_{1}$ и $C_{1}$ лежат на окружности с диаметром $AC$, и четырёхугольник с вершинами $A,C,A_{1},C_{1}$ вписанный.
Углы $CC_{1}A_{1}$ и $CAA_{1}$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны между собой, что и требовалось доказать.