Задание 24 ОГЭ по математике: В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в…

№2. Задание 24

ID: 00006376

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $P$ . Докажите, что площади треугольников $APB$ и $CPD$ равны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. два треугольника на общем основании равны по площади; вычтем общую часть.

В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $P$ . Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$ с общим основанием $AD$ .

Эти треугольники имеют общее основание $AD$ и равные высоты (вершины $B$ и $C$ лежат на прямой $BC$ , параллельной $AD$ ), поэтому их площади равны: $S_{ABD}=S_{ACD}$ .

У этих треугольников есть общая часть — треугольник $APD$ .

Вычтем площадь общего треугольника $APD$ из равных площадей: $S_{ABD}-S_{APD}=S_{ACD}-S_{APD}$ .

Слева — площадь треугольника $APB$ , справа — площадь треугольника $DPC$ ; значит $S_{APB}=S_{DPC}$ , что и требовалось доказать.