ID: 00006376
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $P$. Докажите, что площади треугольников $APB$ и $CPD$ равны.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. два треугольника на общем основании равны по площади; вычтем общую часть.
В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $P$. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$ с общим основанием $AD$.
Эти треугольники имеют общее основание $AD$ и равные высоты (вершины $B$ и $C$ лежат на прямой $BC$, параллельной $AD$), поэтому их площади равны: $S_{ABD}=S_{ACD}$.
У этих треугольников есть общая часть — треугольник $APD$.
Вычтем площадь общего треугольника $APD$ из равных площадей: $S_{ABD}-S_{APD}=S_{ACD}-S_{APD}$.
Слева — площадь треугольника $APB$, справа — площадь треугольника $DPC$; значит $S_{APB}=S_{DPC}$, что и требовалось доказать.