Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00006376

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Треугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00006376

В трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ диагонали пересекаются в точке $$P$$ . Докажите, что площади треугольников $$APB$$ и $$CPD$$ равны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. два треугольника на общем основании равны по площади; вычтем общую часть.

В трапеции $$ABCD$$ диагонали пересекаются в точке $$P$$ . Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ с общим основанием $$AD$$ .

Эти треугольники имеют общее основание $$AD$$ и равные высоты (вершины $$B$$ и $$C$$ лежат на прямой $$BC$$ , параллельной $$AD$$ ), поэтому их площади равны: $S_{ABD}=S_{ACD}$ .

У этих треугольников есть общая часть — треугольник $$APD$$ .

Вычтем площадь общего треугольника $$APD$$ из равных площадей: $S_{ABD}-S_{APD}=S_{ACD}-S_{APD}$ .

Слева — площадь треугольника $$APB$$ , справа — площадь треугольника $$DPC$$ ; значит $S_{APB}=S_{DPC}$ , что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано:

S_{APB}=S_{CPD}

— треугольники

$ABD$

$ACD$

равновелики (общее основание

$AD$

, равные высоты), вычитание общего треугольника

$APD$

даёт равенство

Видеоразбор

Другие задания по теме «Треугольники и их элементы» (8)