Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64 , BD равно 16 . Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Задание 24 ОГЭ по математике: Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64 , BD…

№2. Задание 24

ID: 00006375

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $4$ и $64$ , $BD = 16$ . Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. накрест лежащий угол плюс пропорция сторон дают подобие.

В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC=4$ и $AD=64$ дана диагональ $BD=16$ . Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA$ .

Так как $BC\parallel AD$ , накрест лежащие углы при секущей $BD$ равны: $\angle CBD=\angle BDA$ .

Сравним стороны, прилежащие к этим равным углам: $\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$ и $\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{16}{64}=\dfrac{1}{4}$ — отношения равны.

Значит стороны, образующие равные углы, пропорциональны: $\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{BD}{AD}$ .

По второму признаку подобия (две пропорциональные стороны и равный угол между ними) треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны, что и требовалось доказать.