Global EE

Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00006375

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Треугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00006375

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $4$ и $64$, $BD = 16$ . Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. накрест лежащий угол плюс пропорция сторон дают подобие.

В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC=4$ и $AD=64$ дана диагональ $BD=16$. Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA$.

Так как $BC\parallel AD$, накрест лежащие углы при секущей $BD$ равны: $\angle CBD=\angle BDA$.

Сравним стороны, прилежащие к этим равным углам: $\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$ и $\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{16}{64}=\dfrac{1}{4}$ — отношения равны.

Значит стороны, образующие равные углы, пропорциональны: $\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{BD}{AD}$.

По второму признаку подобия (две пропорциональные стороны и равный угол между ними) треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны, что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны — накрест лежащие углы $\angle CBD=\angle BDA$ при $BC\parallel AD$, а стороны при них пропорциональны $\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{16}{64}=\dfrac{BD}{AD}$, откуда подобие по двум сторонам и углу между ними

Видеоразбор

Другие задания по теме «Треугольники и их элементы» (8)