Окружности

Задание №23. Усложненные геометрические задачи

№2. Задание 23

ID: 00006361

Окружность пересекает стороны $$AB$$ и $$AC$$ треугольника ABC в точках $$K$$ и $$P$$ соответственно и проходит через вершины $$B$$ и $$C$$ . Найдите длину отрезка $$KP$$ , если $$AK = 18$$ , а сторона $$AC$$ в 1,2 раза больше стороны $$BC$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Окружность проходит через вершины $$B$$ и $$C$$ и пересекает стороны $$AB$$ , $$AC$$ в точках $$K$$ и $$P$$ ; сторона $$AC$$ в $$1{,}2$$ раза больше стороны $$BC$$ .

Четырёхугольник $$KBCP$$ вписан в окружность, поэтому его внешний угол при $$K$$ равен внутреннему при $$C$$ : $\angle AKP=\angle ACB$ . Угол $$A$$ — общий.

Значит $\triangle AKP\sim\triangle ACB$ , и соответственные стороны пропорциональны.

Отсюда $\dfrac{KP}{BC}=\dfrac{AK}{AC}$ . Поскольку $$AK=18$$ , а $$AC$$ в $$1{,}2$$ раза больше $$BC$$ , получаем $KP=\dfrac{18}{1{,}2}=15$ .

Длина отрезка $$KP$$ равна $$15$$ .

Ответ

Другие задания по теме «Окружности» (8)