ID: 00006361
Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника ABC в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$. Найдите длину отрезка $KP$, если $AK = 18$ , а сторона $AC$ в 1,2 раза больше стороны $BC$.
Источник: ФИПИ
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ и пересекает стороны $AB$, $AC$ в точках $K$ и $P$; сторона $AC$ в $1{,}2$ раза больше стороны $BC$.
Четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, поэтому его внешний угол при $K$ равен внутреннему при $C$: $\angle AKP=\angle ACB$. Угол $A$ — общий.
Значит $\triangle AKP\sim\triangle ACB$, и соответственные стороны пропорциональны.
Отсюда $\dfrac{KP}{BC}=\dfrac{AK}{AC}$. Поскольку $AK=18$, а $AC$ в $1{,}2$ раза больше $BC$, получаем $KP=\dfrac{18}{1{,}2}=15$.
Длина отрезка $KP$ равна $15$.
15