ID: 00005976
Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Источник: ФИПИ
Это задача на движение по воде. Обозначим собственную скорость баржи (скорость в неподвижной воде) за v км/ч; по смыслу v>5, иначе баржа не пойдёт против течения.
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км | |
|---|---|---|---|
| По течению | v+5 | \dfrac{32}{v+5} | 32 |
| Против течения | v-5 | \dfrac{24}{v-5} | 24 |
По течению река помогает, поэтому скорость баржи там v+5 км/ч; против течения река мешает, и скорость равна v-5 км/ч.
Время — это путь, делённый на скорость. По течению баржа прошла 32 км за \dfrac{32}{v+5} ч, а против течения 24 км за \dfrac{24}{v-5} ч.
Весь путь занял 4 ч, поэтому сумма времён равна 4:
\dfrac{32}{v+5}+\dfrac{24}{v-5}=4.
Умножим обе части на (v+5)(v-5)=v^2-25 и раскроем скобки:
32(v-5)+24(v+5)=4(v^2-25).
После приведения подобных получаем квадратное уравнение v^2-14v-15=0.
По теореме Виета его корни v=15 и v=-1. Отрицательный корень не подходит по смыслу, поэтому v=15.
Проверим: скорости 20 и 10 км/ч, тогда время \dfrac{32}{20}+\dfrac{24}{10}=4 ч — совпало с условием.
Собственная скорость баржи равна 15 км/ч.
15 км/ч.