ID: 00005521
Прямая пересекает стороны $АВ$ и $ВС$ треугольника $АВС$ в точках $К$ и $N$ соответственно. Известно, что $AB=9, ВС =12, АС=18, АК=5, CN=9$ . Найдите длину отрезка $KN$ .
Источник: ФИПИ
Сделаем чертёж: на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $K$ и $N$.
Найдём отрезки от вершины $B$: $BK=AB-AK=9-5=4$ и $BN=BC-CN=12-9=3$.
Сравним треугольники $BKN$ и $BCA$. Угол $B$ у них общий. При этом $\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{4}{12}=0{,}333333$ и $\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{3}{9}=0{,}333333$ — отношения равны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны, то треугольники подобны. Значит $\triangle BKN\sim\triangle BCA$ с коэффициентом $0{,}333333$.
Сторона $KN$ соответствует стороне $CA$, поэтому $KN=AC\cdot0{,}333333=18\cdot0{,}333333=6$.
Длина отрезка $KN$ равна $6$.
6