ID: 00004923
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен $2\sqrt{5}$ . Найдите площадь квадрата $ABCD$ .
Источник: ФИПИ
Введём сторону квадрата $a$ и поместим $A$ и $O$ в координаты: тогда $O$ — середина стороны $CD$, а расстояние $OA$ есть гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $\dfrac{a}{2}$.
По теореме Пифагора $OA^2=a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=\dfrac{5a^2}{4}$, значит площадь $a^2=\dfrac{4\,OA^2}{5}$.
Подставляем $OA=2\sqrt5$:
$$S=a^2=\dfrac{4\cdot\left(2\sqrt5\right)^2}{5}=16.$$