ID: 00000624
Точки M, N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9, 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M, N, касающейся луча AB, если \cos\angle BAC = \frac{\sqrt{5}}{3}
Источник: ФИПИ
💡 Идея. касательная из вершины даёт произведение отрезков, а центр найдём по хорде и условию касания.
Пусть окружность касается луча AB в точке E. По свойству касательной квадрат касательной равен произведению секущей: AE^2=AM\cdot AN=9\cdot 11=99, поэтому AE=\sqrt{99}.
Центр O окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде MN (она на прямой AC), то есть на расстоянии \dfrac{AM+AN}{2}=10 от A вдоль AC и на некоторой высоте k над AC.
Радиус выражается как R^2=k^2+\left(\dfrac{AN-AM}{2}\right)^2=k^2+1^2, где \dfrac{AN-AM}{2}=1 — половина хорды MN.
Условие касания прямой AB (расстояние от O до AB равно R) с учётом \cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{5}}{3} (откуда \sin\angle BAC=0.6667) даёт уравнение на k.
Решая его, находим радиус R\approx 3,88 (точное значение иррационально).
R=\tfrac{1}{2}\sqrt{1395-180\sqrt{55}}\approx 3{,}88