ID: 00000624
Точки $M$, $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $9$, $11$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$, $N$, касающейся луча $AB$, если $\cos\angle BAC = \frac{\sqrt{5}}{3}$
Источник: ФИПИ
💡 Идея. касательная из вершины даёт произведение отрезков, а центр найдём по хорде и условию касания.
Пусть окружность касается луча $AB$ в точке $E$. По свойству касательной квадрат касательной равен произведению секущей: $AE^2=AM\cdot AN=9\cdot 11=99$, поэтому $AE=\sqrt{99}$.
Центр $O$ окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде $MN$ (она на прямой $AC$), то есть на расстоянии $\dfrac{AM+AN}{2}=10$ от $A$ вдоль $AC$ и на некоторой высоте $k$ над $AC$.
Радиус выражается как $R^2=k^2+\left(\dfrac{AN-AM}{2}\right)^2=k^2+1^2$, где $\dfrac{AN-AM}{2}=1$ — половина хорды $MN$.
Условие касания прямой $AB$ (расстояние от $O$ до $AB$ равно $R$) с учётом $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ (откуда $\sin\angle BAC=0.6667$) даёт уравнение на $k$.
Решая его, находим радиус $R\approx 3,88$ (точное значение иррационально).
$R=\tfrac{1}{2}\sqrt{1395-180\sqrt{55}}\approx 3{,}88$