Задание 11 ЕГЭ по математике №00048813

Лодка прошла $280$ км вверх по реке и столько же вниз. Против течения она медленнее, поэтому обратный путь занял на $14$ часов меньше.

Пусть скорость течения $c$ км/ч. Против течения лодка идёт $15-c$ км/ч, по течению $15+c$ км/ч:

$$\dfrac{280}{15-c}-\dfrac{280}{15+c}=14.$$

Общий знаменатель $225-c^{2}$, числитель $280(15+c)-280(15-c)=560c$:

$$\dfrac{560c}{225-c^{2}}=14\quad\Rightarrow\quad 560c=14(225-c^{2}).$$

Разделим на $14$: $40c=225-c^{2}$, то есть $c^{2}+40c-225=0$.

$D=40^{2}+4\cdot225=1600+900=2500=50^{2}$. Корни: $c=\dfrac{-40+50}{2}=5$ и $c=\dfrac{-40-50}{2}=-45$ — не подходит.

Можно решить и иначе. Обозначим $u$ скорость против течения; тогда по течению лодка идёт $30-u$ км/ч, потому что две скорости в сумме дают удвоенную собственную. Уравнение $\dfrac{280}{u}-\dfrac{280}{30-u}=14$ после деления на $14$ даёт $\dfrac{20}{u}-\dfrac{20}{30-u}=1$, откуда $u^{2}-70u+600=0$ и $u=10$ или $u=60$. Против течения лодка не может идти быстрее $15$ км/ч, поэтому $u=10$, и течение равно $15-10=5$ км/ч.

Проверим себя. Против течения $10$ км/ч — $280$ км за $28$ ч. По течению $20$ км/ч — за $14$ ч. Разница $28-14=14$ ч — верно.