Задание 11 ЕГЭ по математике №00048811

Лодка сходила из А в В и обратно по реке. Течение на одном плече помогает, на другом мешает, и по общему времени в пути мы найдём его скорость.

Время. С 11:00 до 15:00 прошло $4$ часа. Стоянка $1$ ч $20$ мин: $20$ минут — это треть часа, поэтому стоянка равна $1\dfrac13=\dfrac43$ ч. В движении лодка была $4-\dfrac43=\dfrac83$ ч, то есть $2$ ч $40$ мин.

Пусть скорость течения $c$ км/ч. По течению лодка идёт со скоростью $12+c$, против течения — $12-c$ км/ч, а каждое плечо равно $15$ км:

$$\dfrac{15}{12+c}+\dfrac{15}{12-c}=\dfrac83.$$

Общий знаменатель $(12+c)(12-c)=144-c^{2}$. Числитель $15(12-c)+15(12+c)=180-15c+180+15c=360$ — слагаемые с $c$ взаимно уничтожились:

$$\dfrac{360}{144-c^{2}}=\dfrac83.$$

Умножим обе части на $3(144-c^{2})$: $1080=8(144-c^{2})$, откуда $144-c^{2}=135$ и $c^{2}=9$.

Корни $c=3$ и $c=-3$; скорость течения положительна, значит, $c=3$ км/ч.

Проверим себя. По течению $12+3=15$ км/ч — плечо в $15$ км лодка прошла за $1$ ч. Против течения $12-3=9$ км/ч — за $\dfrac{15}{9}=\dfrac53$ ч, то есть $1$ ч $40$ мин. Вместе $2$ ч $40$ мин хода и $1$ ч $20$ мин стоянки — ровно $4$ часа.