Задание 11 ЕГЭ по математике №00048810

Лодка прошла по реке $15$ км туда и столько же обратно. По течению вода её подгоняет, против течения — тормозит. Зная, сколько времени заняла дорога, найдём скорость течения.

Время. С 11:00 до 16:00 прошло $5$ часов. Стоянка $1$ ч $15$ мин — это $1\dfrac14=\dfrac54$ ч, потому что $15$ минут — четверть часа. Значит, в движении лодка была $5-\dfrac54=\dfrac{15}{4}$ ч.

Пусть скорость течения $c$ км/ч. Тогда по течению лодка идёт со скоростью $9+c$, а против течения — $9-c$ км/ч.

Сумма времени туда и обратно равна времени в движении:

$$\dfrac{15}{9+c}+\dfrac{15}{9-c}=\dfrac{15}{4}.$$

Число $15$ стоит в числителях и слева, и справа, поэтому разделим обе части на $15$:

$$\dfrac{1}{9+c}+\dfrac{1}{9-c}=\dfrac{1}{4}.$$

Общий знаменатель слева $(9+c)(9-c)=81-c^{2}$, числитель $(9-c)+(9+c)=18$:

$$\dfrac{18}{81-c^{2}}=\dfrac14\quad\Rightarrow\quad 81-c^{2}=18\cdot 4=72.$$

Значит, $c^{2}=9$, то есть $c=3$ или $c=-3$. Скорость течения положительна: $c=3$ км/ч.

Проверим себя. По течению $9+3=12$ км/ч, $15$ км лодка прошла за $15:12=1{,}25$ ч. Против течения $9-3=6$ км/ч, это $15:6=2{,}5$ ч. Вместе $3{,}75$ ч, то есть $3$ ч $45$ мин, плюс $1$ ч $15$ мин стоянки — ровно $5$ часов, с 11:00 до 16:00.