Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00045613

Заменим $x^2$ на $t\ge0$ и перенесём правую часть влево. Выражение раскладывается в произведение $(2^{t-7}-1)(5^{t-4}-2^{t-4})\gt0$.

Проверим раскрытие: произведение даёт $2^{t-7}5^{t-4}-2^{2t-11}-5^{t-4}+2^{t-4}$. Здесь $2^{2t-11}=4^{t-5{,}5}$, а $2^{t-4}=8\cdot2^{t-7}$, поэтому преобразование точное.

Первый множитель имеет знак $t-7$. Второй — знак $t-4$: при положительном показателе степень пятёрки больше степени двойки, при отрицательном меньше.

Произведение положительно, когда $t\lt4$ или $t\gt7$. С учётом $t\ge0$ получаем $0\le t\lt4$ либо $t\gt7$.

Возвращаемся к $x$: $-2\lt x\lt2$, $x\lt-\sqrt7$ или $x\gt\sqrt7$. Проверка: при $x=0$ оба множителя отрицательны и условие выполнено; границы $x^2=4,7$ дают ноль и исключаются.