Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00045607

Логарифмы существуют при $8-x^2\gt0$. У обоих логарифмов основания — степени пятёрки, поэтому введём $t=\log_5(8-x^2)$.

По формуле смены основания $\log_{25}(8-x^2)=t/2$, а $\log_{\sqrt5}(8-x^2)=2t$. Неравенство превращается в $64(t/2)^4-5(2t)^2+16\le0$, то есть $4t^4-20t^2+16\le0$.

Делим на $4$ и раскладываем: $(t^2-1)(t^2-4)\le0$. Значит, $1\le t^2\le4$, или $t\in[-2;-1]\cup[1;2]$.

Пятёрка больше единицы, поэтому порядок границ при возвращении к аргументу сохраняется: $8-x^2\in[1/25;1/5]\cup[5;25]$.

Первая часть даёт $x^2\in[8-1/5;8-1/25]=[7{,}8;7{,}96]$. Вторая даёт $x^2\in[-17;3]$, а с учётом $x^2\ge0$ — $x^2\in[0;3]$.

Возвращаемся к $x$. Из $7{,}8\le x^2\le7{,}96$ получаем $\sqrt{7{,}8}\le|x|\le\sqrt{7{,}96}$, то есть два промежутка: $[-\sqrt{7{,}96};-\sqrt{7{,}8}]$ и $[\sqrt{7{,}8};\sqrt{7{,}96}]$. Из $x^2\le3$ получаем $[-\sqrt3;\sqrt3]$.

Итого $x\in[-\sqrt{7{,}96};-\sqrt{7{,}8}]\cup[-\sqrt3;\sqrt3]\cup[\sqrt{7{,}8};\sqrt{7{,}96}]$. Все эти точки удовлетворяют ОДЗ: в них $x^2\lt8$. Проверка: при $t=1$ и $t=2$ выражение равно нулю, при $t=0$ положительно — средний промежуток по $t$ действительно исключён.