Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00045606

Аргумент всех логарифмов один и тот же: $24-x^2$. Он должен быть положителен, поэтому $|x|\lt2\sqrt6$.

Положим $t=\log_2(24-x^2)$. По формуле перехода к новому основанию $\log_{\sqrt2}(24-x^2)=2t$, а $\log_4(24-x^2)=t/2$.

Неравенство превращается в $16t^4-192t^2/4\ge64$. Делим на 16: $t^4-3t^2-4\ge0$, то есть $(t^2-4)(t^2+1)\ge0$.

Множитель $t^2+1$ всегда положителен, значит, $t^2\ge4$. Отсюда $t\le-2$ или $t\ge2$.

При $t\le-2$ возрастающий логарифм с основанием 2 даёт $0\lt24-x^2\le1/4$. Значит, $95/4\le x^2\lt24$, и получаются внешние интервалы $(-2\sqrt6;-\sqrt{95}/2]\cup[\sqrt{95}/2;2\sqrt6)$.

При $t\ge2$ имеем $24-x^2\ge4$, то есть $x^2\le20$. Это центральный отрезок $[-2\sqrt5;2\sqrt5]$.

Объединим три части. Проверим границы: на включённых концах аргумент равен 1/4 или 4, поэтому $t=-2$ или 2 и достигается равенство. В точках $\pm2\sqrt6$ аргумент нулевой, поэтому они исключены.