Global EE

Рациональные… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00045528

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Рациональные уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00045528

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=54$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 75 до 105 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от 105 до 135 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\frac1{d_1}+\frac1{d_2}=\frac1f$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ дайте в сантиметрах.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Из формулы линзы получаем $d_1=54d_2/(d_2-54)=54+2916/(d_2-54)$. На всём разрешённом промежутке $105\le d_2\le135$ знаменатель положителен.

При увеличении $d_2$ дробь уменьшается, значит наименьшее $d_1$ получается при наибольшем $d_2=135$.

Вычисляем $d_1=54\cdot135/(135-54)=7290/81=90$ см. Это входит в допустимый диапазон лампочки $[75;105]$.

Проверка: $1/90+1/135=3/270+2/270=1/54$. Если поставить лампочку ближе, для чёткого изображения экран понадобился бы дальше разрешённой границы.

Ответ

90
Другие задания по теме «Рациональные уравнения и неравенства» (8)