Global EE

Рациональные… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00045527

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Рациональные уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00045527

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=48$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 60 до 90 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от 120 до 160 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\frac1{d_1}+\frac1{d_2}=\frac1f$. Укажите, на каком наибольшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ дайте в сантиметрах.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Выразим расстояние до лампочки через расстояние до экрана: $1/d_1=1/48-1/d_2$, поэтому $d_1=48d_2/(d_2-48)$.

Перепишем как $d_1=48+2304/(d_2-48)$. При $120\le d_2\le160$ знаменатель положителен и растёт, поэтому $d_1$ убывает. Наибольшее значение получается при $d_2=120$.

Вычисляем $d_1=48\cdot120/(120-48)=5760/72=80$ см. Оно попадает в разрешённый диапазон $[60;90]$.

Проверка формулы линзы: $1/80+1/120=3/240+2/240=1/48$. Оба расстояния допустимы.

Ответ

80
Другие задания по теме «Рациональные уравнения и неравенства» (8)
Рациональные… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00045527 | Global EE