Global EE

Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00043642

Задание №13. Экономические задачи

Кредиты

№2. Задание 13

ID: 00043642

В октябре 2027 года Борис планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 2560 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на $15\,\%$ от суммы долга на конец предыдущего года;

– в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;

– в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028–2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же величину $Q$ рублей меньше долга на октябрь предыдущего года;

– в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;

– к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите величину $Q$, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 4168 тыс. рублей.

Ответ дайте в рублях.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Кредит $2560$ тыс. рублей на семь лет. Первые пять лет долг каждый октябрь уменьшается на $Q$, последние два года остаток гасится двумя равными выплатами. Будем считать $Q$ в тысячах рублей, а в конце переведём в рубли.

Первые пять лет. Долги на октябрь перед начислениями: $2560,\ 2560-Q,\ \dots,\ 2560-4Q$, сумма $12\,800-10Q$. Проценты $15\%$ от этой суммы, плюс сами уменьшения $5Q$:

$$5Q+0{,}15(12\,800-10Q)=5Q+1920-1{,}5Q=3{,}5Q+1920.$$

Последние два года. Остаток $D=2560-5Q$. Каждая из двух равных выплат $x$ покрывает часть остатка, очищенную от процентов: $\dfrac{x}{1{,}15}+\dfrac{x}{1{,}15^2}=D$. Отсюда $\dfrac{1{,}15x+x}{1{,}3225}=D$, $x=\dfrac{1{,}3225D}{2{,}15}$, и обе выплаты вместе:

$$2x=\dfrac{2{,}645D}{2{,}15}=\dfrac{529D}{430}.$$

Общая сумма.

$$3{,}5Q+1920+\dfrac{529(2560-5Q)}{430}=4168.$$

Умножим на $430$: $1505Q+825\,600+1\,354\,240-2645Q=1\,792\,240$, откуда $-1140Q=-387\,600$, $Q=340$.

$Q=340$ тыс. рублей, то есть $340\,000$ рублей.

Проверим себя: первые пять лет $3{,}5\cdot 340+1920=3110$; $D=2560-1700=860$, $2x=\dfrac{529\cdot 860}{430}=1058$; всего $3110+1058=4168$ — сходится.

Ответ

340000
Другие задания по теме «Кредиты» (8)