Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00043636

Обозначим $p=\dfrac{r}{100}$ — долю роста долга, и $d$ тыс. рублей — величину, на которую долг уменьшается в июне 2029, 2030 и 2031 годов. Долг перед каждым январём: $1600$, $1600-d$, $1600-2d$, $1600-3d$.

Начнём с последнего платежа. В июне 2031 года долг $1600-3d$, в январе 2032 года он вырос, и платёж $468$ тыс. его погасил:

$$(1+p)(1600-3d)=468\quad\Rightarrow\quad 1600-3d=\dfrac{468}{1+p}.$$

Теперь сумма выплат: кредит плюс проценты всех четырёх лет.

$$1600+p\bigl(6400-6d\bigr)=2280\quad\Rightarrow\quad p(6400-6d)=680.$$

Заметим, что $6400-6d=2(1600-3d)+3200=\dfrac{936}{1+p}+3200$. Получаем уравнение с одной неизвестной:

$$p\left(3200+\dfrac{936}{1+p}\right)=680.$$

Умножим на $1+p$: $3200p(1+p)+936p=680(1+p)$, то есть $3200p^2+3200p+936p-680p-680=0$:

$$3200p^2+3456p-680=0\quad\Leftrightarrow\quad 400p^2+432p-85=0.$$

Дискриминант: $432^2+4\cdot 400\cdot 85=186\,624+136\,000=322\,624=568^2$. Положительный корень: $p=\dfrac{-432+568}{800}=\dfrac{136}{800}=0{,}17$. Значит, $r=17$.

Проверим себя: $1600-3d=\dfrac{468}{1{,}17}=400$, откуда $d=400$. Долги $1600,\ 1200,\ 800,\ 400$, сумма $4000$, проценты $0{,}17\cdot 4000=680$, всего $1600+680=2280$ — сходится.