Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00043627

Обозначим сумму кредита $S$ тыс. рублей, а величину, на которую долг уменьшается каждый июль с 2030 по 2034 год, — $d$ тыс. Двух неизвестных — значит, нужны два уравнения: одно даст последний платёж, другое — общая сумма выплат.

С 2030 по 2034 год долг уменьшился пять раз, в июле 2034 года он равен $S-5d$. В январе 2035 года он вырос на $20\%$ и был погашен платежом $480$ тыс.:

$$1{,}2(S-5d)=480\quad\Rightarrow\quad S-5d=400.$$

Переплата — это все проценты. Перечислим их по годам:

по $10\%$ (2030–2032): $0{,}1S$, $0{,}1(S-d)$, $0{,}1(S-2d)$ — вместе $0{,}1(3S-3d)=0{,}3S-0{,}3d$;

по $20\%$ (2033–2035): $0{,}2(S-3d)$, $0{,}2(S-4d)$, $0{,}2(S-5d)$ — вместе $0{,}2(3S-12d)=0{,}6S-2{,}4d$.

Все выплаты равны кредиту плюс проценты:

$$S+0{,}9S-2{,}7d=2800\quad\Rightarrow\quad 1{,}9S-2{,}7d=2800.$$

Из первого уравнения $S=400+5d$. Подставим: $1{,}9(400+5d)-2{,}7d=760+9{,}5d-2{,}7d=760+6{,}8d=2800$, откуда $6{,}8d=2040$, $d=300$.

Тогда $S=400+5\cdot 300=1900$ тыс. рублей, то есть $1\,900\,000$ рублей.

Проверим себя. Последний год: остаток $1900-5\cdot 300=400$, с процентами $1{,}2\cdot 400=480$ — как в условии. Проценты по годам: 2030 — $0{,}1\cdot 1900=190$; 2031 — $0{,}1\cdot 1600=160$; 2032 — $0{,}1\cdot 1300=130$; 2033 — $0{,}2\cdot 1000=200$; 2034 — $0{,}2\cdot 700=140$; 2035 — $80$. Итого $900$, и $1900+900=2800$ — сходится.