Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00043621

Кредит берут на шесть лет. Первые четыре года (2029–2032) Иван Петрович платит только проценты, а в 2033 и 2034 годах гасит долг двумя равными платежами. Найдём общую сумму выплат для кредита $S$ млн рублей и сравним её с $12$ млн.

Каждый январь долг умножается на $1{,}2$. Пока выплачиваются только проценты, долг после каждого платежа вновь возвращается к $S$, а сам платёж равен $0{,}2S$. Таких лет четыре:

$$4\cdot 0{,}2S=0{,}8S.$$

В 2033 году долг вырос до $1{,}2S$, затем выплачено $x$, осталось $1{,}2S-x$. В 2034 году остаток вырос до $1{,}2(1{,}2S-x)$, и платёж $x$ закрывает его полностью:

$$1{,}2(1{,}2S-x)=x\quad\Rightarrow\quad 1{,}44S=2{,}2x\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{1{,}44S}{2{,}2}.$$

Значит, два равных платежа вместе дают $2x=\dfrac{1{,}44S}{1{,}1}=\dfrac{72S}{55}$.

Все выплаты:

$$0{,}8S+\dfrac{72S}{55}=\dfrac{44S}{55}+\dfrac{72S}{55}=\dfrac{116S}{55}.$$

Нужно, чтобы выплаты превысили $12$ млн:

$$\dfrac{116S}{55}\gt 12\quad\Rightarrow\quad S\gt\dfrac{660}{116}=\dfrac{165}{29}\approx 5{,}69.$$

Кредит — целое число миллионов, поэтому наименьшее подходящее значение $S=6$.

Проверим себя. При $S=6$: выплаты $\dfrac{116\cdot 6}{55}=\dfrac{696}{55}\approx 12{,}65\gt 12$. При $S=5$: $\dfrac{580}{55}\approx 10{,}55$ — меньше $12$, не подходит.