Задание 1 ЕГЭ по математике №00042297
Длина окружности и площадь круга
№2. Задание 1
ID: 00042297
В полукруг помещен круг, касающийся дуги полукруга в ее середине, а также диаметра полукруга. Найдите отношение площадей данного полукруга и данного круга.
Источник: Сборник Геометрия МГУ
Решение
Пусть $O$ — центр полукруга, $R$ — его радиус, $T$ — середина дуги. Радиус $OT$ перпендикулярен диаметру.
Круг радиуса $r$ касается дуги в точке $T$. Точка касания двух окружностей лежит на линии их центров, поэтому центр круга $Q$ лежит на радиусе $OT$, причём $QT=r$.
Круг касается и диаметра. Расстояние от $Q$ до диаметра — это отрезок $QO$ (ведь $OT\perp$ диаметру), и он равен радиусу: $QO=r$.
Получаю $OT=OQ+QT=2r$, то есть $R=2r$: радиус полукруга — это диаметр круга.
Площадь полукруга — половина площади круга радиуса $R$: $S_{\text{пк}}=\dfrac12\pi R^2=\dfrac12\pi(2r)^2=2\pi r^2$. Площадь круга $S_{\text{к}}=\pi r^2$.
$$\dfrac{S_{\text{пк}}}{S_{\text{к}}}=\dfrac{2\pi r^2}{\pi r^2}=2.$$
Проверка на числах: пусть $R=2$, тогда $r=1$; площадь полукруга $\dfrac12\pi\cdot4=2\pi$, площадь круга $\pi$, отношение $2$ — то же.