Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство log по основанию 2 в квадрате левая круглая…

Присмотримся к неравенству: логарифм \log_{2}(25-x^{2}) встречается в нём дважды — сначала в квадрате, потом в первой степени. Такая конструкция называется неравенством, рациональным относительно логарифма, и решается заменой: обозначим весь логарифм одной буквой и получим обычное квадратное неравенство.

Но сначала — область допустимых значений (ОДЗ). Под логарифмом должно стоять строго положительное число: 25-x^{2}\gt 0, то есть x^{2}\lt 25, а значит -5\lt x\lt 5. Все дальнейшие ответы придётся пересечь с этим промежутком.

Теперь замена. Пусть u=\log_{2}(25-x^{2}). Запись \log_{2}^{2}(25-x^{2}) означает квадрат логарифма, то есть u^{2}. Неравенство превращается в u^{2}-7u+12\geqslant 0.

Найдём корни квадратного трёхчлена: D=(-7)^{2}-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1, \sqrt{1}=1, корни u_{1}=\dfrac{7-1}{2}=3 и u_{2}=\dfrac{7+1}{2}=4. Значит u^{2}-7u+12=(u-3)(u-4).

Парабола u^{2}-7u+12 ветвями вверх, поэтому она неотрицательна вне отрезка между корнями. Получаем два случая: u\leqslant 3 или u\geqslant 4.

Разберём первый случай: \log_{2}(25-x^{2})\leqslant 3. Число 3 удобно записать как логарифм: 3=\log_{2}8, потому что 2^{3}=8. Логарифм с основанием 2\gt 1 возрастает, поэтому от логарифмов переходим к их аргументам без смены знака: 25-x^{2}\leqslant 8.

Отсюда -x^{2}\leqslant 8-25, то есть -x^{2}\leqslant -17, и после умножения на -1 (знак неравенства при этом переворачивается) получаем x^{2}\geqslant 17, то есть x\leqslant -\sqrt{17} или x\geqslant \sqrt{17}.

Второй случай: \log_{2}(25-x^{2})\geqslant 4. Аналогично 4=\log_{2}16, ведь 2^{4}=16. Значит 25-x^{2}\geqslant 16, то есть x^{2}\leqslant 9, откуда -3\leqslant x\leqslant 3.

Осталось собрать ответ. Каждый из найденных кусков пересекаем с ОДЗ (-5;5).

Кусок x\leqslant -\sqrt{17} внутри ОДЗ превращается в (-5;-\sqrt{17}]: слева граница -5 выколота по ОДЗ, справа -\sqrt{17} входит, так как неравенство нестрогое. Симметрично кусок x\geqslant \sqrt{17} даёт [\sqrt{17};5). Полезно прикинуть: \sqrt{17}\approx 4{,}12, то есть эти кусочки действительно лежат внутри промежутка от -5 до 5.

Кусок -3\leqslant x\leqslant 3 целиком лежит внутри ОДЗ и сохраняется полностью.

Объединяем три части: (-5;-\sqrt{17}]\cup[-3;3]\cup[\sqrt{17};5).

Проверим себя на x=0: тогда 25-0=25, логарифм равен \log_{2}25\approx 4{,}64, и выражение 4{,}64^{2}-7\cdot 4{,}64+12\approx 21{,}5-32{,}5+12=1 — положительно, значит x=0 действительно подходит, и оно как раз попало в средний отрезок.