Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство log по основанию 3 в квадрате левая круглая…

Логарифм здесь встречается только в одном сочетании — \log_{3}\left(25-x^{2}\right), причём один раз в квадрате и один раз сам по себе. Это верный знак, что перед нами замаскированное квадратное неравенство: достаточно обозначить этот логарифм одной буквой.

Сначала область допустимых значений — те x, при которых выражение вообще имеет смысл. Логарифм существует только от положительного числа, поэтому нужно 25-x^{2}\gt 0, то есть x^{2}\lt 25, а значит -5\lt x\lt 5. Дальше все найденные промежутки придётся пересечь именно с этим условием.

Делаем замену переменной: пусть t=\log_{3}\left(25-x^{2}\right). Неравенство принимает вид

t^{2}-3t+2\geqslant 0.

Квадратный трёхчлен раскладывается на множители: корни уравнения t^{2}-3t+2=0 равны t=1 и t=2 (их сумма 3, произведение 2), поэтому t^{2}-3t+2=(t-1)(t-2). Ветви параболы направлены вверх, значит выражение неотрицательно вне промежутка между корнями: t\leqslant 1 или t\geqslant 2.

Возвращаемся к x. Основание логарифма 3\gt 1, поэтому логарифм — возрастающая функция, и знаки неравенств при переходе к аргументам сохраняются.

Первый случай: \log_{3}\left(25-x^{2}\right)\leqslant 1=\log_{3}3, то есть 25-x^{2}\leqslant 3. Отсюда x^{2}\geqslant 22, значит x\leqslant -\sqrt{22} или x\geqslant \sqrt{22}.

Второй случай: \log_{3}\left(25-x^{2}\right)\geqslant 2=\log_{3}9, то есть 25-x^{2}\geqslant 9. Отсюда x^{2}\leqslant 16, значит -4\leqslant x\leqslant 4.

Собираем ответ. Два случая объединяются (подходит любой из них), а затем всё вместе пересекается с областью определения (-5;5). Так как \sqrt{22}\approx 4{,}69 и это меньше 5, кусок x\geqslant \sqrt{22} обрезается справа пятёркой и даёт \left[\sqrt{22};5\right); симметрично слева получаем \left(-5;-\sqrt{22}\,\right]. Отрезок [-4;4] целиком лежит внутри (-5;5) и остаётся как есть. Точки \pm 5 выколоты, потому что в них логарифма не существует.

Проверим себя на x=0: тогда 25-x^{2}=25, \log_{3}25\approx 2{,}93\geqslant 2 — условие выполнено, и точка 0 действительно попала в отрезок [-4;4].