Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство log по основанию 3 в квадрате левая круглая…

Всё неравенство построено вокруг одного-единственного выражения \log_{3}(x^{2}-16): сначала оно в квадрате, потом само по себе. Это классическая заготовка под замену переменной — обозначим логарифм одной буквой и получим обычное квадратное неравенство.

Сначала область допустимых значений (ОДЗ). Логарифм существует только от положительного числа, поэтому нужно x^{2}-16\gt 0, то есть x^{2}\gt 16. Это значит |x|\gt 4, то есть x\lt -4 или x\gt 4. Других ограничений нет.

Делаем замену: пусть t=\log_{3}(x^{2}-16). Тогда \log_{3}^{2}(x^{2}-16)=t^{2}, и неравенство превращается в t^{2}-5t+6\geqslant 0.

Разложим левую часть на множители. Корни уравнения t^{2}-5t+6=0: дискриминант D=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1, \sqrt{1}=1, значит t_{1}=\dfrac{5-1}{2}=2 и t_{2}=\dfrac{5+1}{2}=3. Получаем (t-2)(t-3)\geqslant 0.

Парабола t^{2}-5t+6 ветвями вверх, значит она неотрицательна вне отрезка между корнями (метод интервалов даёт то же самое): t\leqslant 2 или t\geqslant 3.

Возвращаемся к x. Основание логарифма 3 больше единицы, поэтому логарифм возрастает: большему аргументу отвечает больший логарифм, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется. Обозначим для краткости u=x^{2}-16, помня, что по ОДЗ u\gt 0.

Первый случай: \log_{3}u\leqslant 2. Так как 3^{2}=9, это означает u\leqslant 9, а вместе с условием u\gt 0 получаем 0\lt u\leqslant 9. Подставляем u=x^{2}-16: 0\lt x^{2}-16\leqslant 9, то есть 16\lt x^{2}\leqslant 25. Отсюда 4\lt |x|\leqslant 5, что даёт два симметричных куска: [-5;-4) и (4;5].

Второй случай: \log_{3}u\geqslant 3. Так как 3^{3}=27, это означает u\geqslant 27, то есть x^{2}-16\geqslant 27, откуда x^{2}\geqslant 43 и |x|\geqslant \sqrt{43}. Это ещё два куска: \left(-\infty;-\sqrt{43}\right] и \left[\sqrt{43};+\infty\right).

Теперь соберём ответ из найденных промежутков. Отдельно проверять ОДЗ не нужно: условие u\gt 0 мы уже учли внутри первого случая, а во втором случае u\geqslant 27 и подавно положительно.

Проверим, не налезают ли куски друг на друга. Оценим \sqrt{43}: 6^{2}=36, 7^{2}=49, значит 6\lt\sqrt{43}\lt 7, точнее \sqrt{43}\approx 6{,}56. Это больше 5, поэтому промежуток (4;5] и луч \left[\sqrt{43};+\infty\right) не пересекаются — между ними остаётся «дырка» \left(5;\sqrt{43}\right), где неравенство не выполняется. Слева картина симметричная.

Итого ответ — объединение четырёх промежутков, записанных слева направо по числовой прямой.