Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A , B , C , C индекс 1 правильной треугольной призмы ABCA индекс 1 B индекс 1 C индекс 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.

Задание 3 ЕГЭ по математике: Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины…

№2. Задание 3

ID: 00028707

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$ , $B$ , $C$ , $C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.

Источник: ФИПИ

Решение

Нужно найти объём тетраэдра, вершины которого — три точки основания призмы ( $A$ , $B$ , $C$ ) и одна вершина верхнего основания ( $C_1$ ), расположенная прямо над $C$ .

Треугольник $ABC$ — это как раз основание призмы, его площадь дана: $6$ .

Отрезок $CC_1$ — боковое ребро призмы, оно перпендикулярно основанию (призма прямая), поэтому это и есть высота тетраэдра, проведённая из вершины $C_1$ к плоскости $ABC$ . По условию боковое ребро равно $9$ .

Объём тетраэдра — треть произведения площади основания на высоту:

$V=\dfrac13\cdot S_{ABC}\cdot CC_1=\dfrac13\cdot6\cdot9.$

Вычисляем: $6\cdot9=54$ , затем делим на 3:

$V=\dfrac{54}{3}=18.$

Ответ