Задание ЕГЭ по математике: Периметр треугольника ABC равен 56 , AB: BC равно 3: 5 ,…
№2. Задание без номера
ID: 00024163
Периметр треугольника ABC равен 56, AB:BC=3:5, биссектриса делит сторону AC на отрезки, один из которых AB_1=9. Найдите все стороны треугольника.
Источник: Global_EE
Решение
Биссектриса из вершины B делит сторону AC на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}
Известен отрезок AB_1=9, поэтому находим второй отрезок из пропорции.
\frac{9}{B_1C} = \frac{3}{5}
Умножаем крест-накрест: 3\cdot B_1C = 9\cdot 5 = 45, значит B_1C = 15.
Вся сторона AC складывается из двух отрезков.
AC = 9 + 15 = 24
Теперь используем периметр: все три стороны вместе дают 56, значит на две стороны AB и BC остаётся.
AB + BC = 56 - 24 = 32
Стороны относятся как 3:5 — представим их как 3k и 5k и найдём k.
3k + 5k = 32, \quad k = 4
Осталось умножить: AB = 3\cdot 4 = 12, BC = 5\cdot 4 = 20. Проверим себя: 12 + 20 + 24 = 56 — периметр сходится, и 12+20 \gt 24 — такой треугольник существует.