Треугольники — Задание ЕГЭ по математике №00024163

Биссектриса из вершины $B$ делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

$$\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}$$

Известен отрезок $AB_1=9$, поэтому находим второй отрезок из пропорции.

$$\frac{9}{B_1C} = \frac{3}{5}$$

Умножаем крест-накрест: $3\cdot B_1C = 9\cdot 5 = 45$, значит $B_1C = 15$.

Вся сторона $AC$ складывается из двух отрезков.

$$AC = 9 + 15 = 24$$

Теперь используем периметр: все три стороны вместе дают $56$, значит на две стороны $AB$ и $BC$ остаётся.

$$AB + BC = 56 - 24 = 32$$

Стороны относятся как $3:5$ — представим их как $3k$ и $5k$ и найдём $k$.

$$3k + 5k = 32, \quad k = 4$$

Осталось умножить: $AB = 3\cdot 4 = 12$, $BC = 5\cdot 4 = 20$. Проверим себя: $12 + 20 + 24 = 56$ — периметр сходится, и $12+20 \gt 24$ — такой треугольник существует.