ID: 00024114
Упростите выражение: \dfrac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}.
Источник: Global_EE
Это «дробь внутри дроби» — четырёхэтажная запись. План простой: отдельно свернуть числитель в одну дробь, отдельно знаменатель, а потом разделить одну дробь на другую.
Сразу отметим ограничения: x\neq 0 (иначе нет \frac{1}{x}), и знаменатель большой дроби не должен быть нулём.
Сворачиваем верх, представив единицу как \frac{x}{x}:
1-\frac{1}{x}=\frac{x}{x}-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}
Точно так же низ:
1+\frac{1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}
Теперь делим первую дробь на вторую, а деление на дробь — это умножение на перевёрнутую:
\frac{x-1}{x}:\frac{x+1}{x}=\frac{x-1}{x}\cdot\frac{x}{x+1}
Множитель x сверху и снизу сокращается (он не ноль):
\frac{x-1}{x+1}
Отдельно заметим: x+1 в знаменателе ответа не должно быть нулём, то есть x\neq -1.