ID: 00022439
Источник: ФИПИ
Держим в голове устройство доски: зелёные — различные кратные $3$, красные — различные кратные $7$; одно и то же значение может быть одновременно и зелёным, и красным (тогда оно встретится дважды). Всего чисел $30$.
а) Хотим сумму меньше $1395$. Возьмём $29$ зелёных чисел $3,6,\dots,87$ (их сумма $3+6+\dots+87=1305$) и одно красное число $21$. Число $21$ кратно $7$ (годится в красные) и кратно $3$ (условие «все кратны $3$» соблюдено); красное $21$ совпадает с зелёным $21$ — так можно. Всего $30$ чисел, сумма $1305+21=1326<1395$. Да.
б) Пусть красное ровно одно, тогда зелёных $29$. Двадцать девять различных кратных $3$ дают в сумме не меньше $3+6+\dots+87=1305$. Уже одни зелёные тянут на $1305$, а с красным ещё больше — сумма не меньше $1312$. Но нужно ровно $1067<1305$, что недостижимо. Нет.
в) Пусть красных $r$, тогда зелёных $30-r$. Наименьшая возможная сумма — это самые маленькие числа: зелёные $3,6,\dots,3(30-r)$ дают $\dfrac{3(30-r)(31-r)}{2}$, красные $7,14,\dots,7r$ дают $\dfrac{7r(r+1)}{2}$. Считаем этот минимум. При $r=5$: зелёные ($25$ штук) не меньше $975$, красные ($5$ штук) не меньше $105$, вместе не меньше $1080>1067$ — до $1067$ уже не опуститься. При $r=6$: зелёные ($24$ штуки) не меньше $900$, красные ($6$ штук) не меньше $147$, вместе не меньше $1047\le 1067$ — помещаемся. Значит, красных меньше шести быть не может, а ровно шесть — можно: возьмём $3,6,\dots,72$ и $7,14,21,28,35,42$ (сумма $1047$), затем чуть увеличим два числа, добрав недостающие $20$ (например, $42\to 56$ и $72\to 78$), и сумма станет ровно $1067$. Наименьшее число красных — 6.