Держим в голове устройство доски: зелёные — различные кратные 3, красные — различные кратные 7; одно и то же значение может быть одновременно и зелёным, и красным (тогда оно встретится дважды). Всего чисел 30.

а) Хотим сумму меньше 1395. Возьмём 29 зелёных чисел 3,6,\dots,87 (их сумма 3+6+\dots+87=1305) и одно красное число 21. Число 21 кратно 7 (годится в красные) и кратно 3 (условие «все кратны 3» соблюдено); красное 21 совпадает с зелёным 21 — так можно. Всего 30 чисел, сумма 1305+21=1326<1395. Да.

б) Пусть красное ровно одно, тогда зелёных 29. Двадцать девять различных кратных 3 дают в сумме не меньше 3+6+\dots+87=1305. Уже одни зелёные тянут на 1305, а с красным ещё больше — сумма не меньше 1312. Но нужно ровно 1067<1305, что недостижимо. Нет.

в) Пусть красных r, тогда зелёных 30-r. Наименьшая возможная сумма — это самые маленькие числа: зелёные 3,6,\dots,3(30-r) дают \dfrac{3(30-r)(31-r)}{2}, красные 7,14,\dots,7r дают \dfrac{7r(r+1)}{2}. Считаем этот минимум. При r=5: зелёные (25 штук) не меньше 975, красные (5 штук) не меньше 105, вместе не меньше 1080>1067 — до 1067 уже не опуститься. При r=6: зелёные (24 штуки) не меньше 900, красные (6 штук) не меньше 147, вместе не меньше 1047\le 1067 — помещаемся. Значит, красных меньше шести быть не может, а ровно шесть — можно: возьмём 3,6,\dots,72 и 7,14,21,28,35,42 (сумма 1047), затем чуть увеличим два числа, добрав недостающие 20 (например, 42\to 56 и 72\to 78), и сумма станет ровно 1067. Наименьшее число красных — 6.