Как и в похожих задачах, кусок из k единиц — это число 1,11,111,1111,\dots Пусть a,b,c,d — сколько взято кусков длины 1,2,3,4. Тогда единиц a+2b+3c+4d=50, а сумма a+11b+111c+1111d. Удобный приём: разность «сумма минус число единиц» складывается из добавок каждого куска 11-2=9, 111-3=108, 1111-4=1107 — все кратны 9. Значит, сумма и n дают одинаковый остаток при делении на 9.

а) Сумма 113 при n=50. Кусков длиннее 3 нет (1111>113). Из a+11b+111c=113 и a+2b+3c=50 вычитанием: 9b+108c=63, то есть b+12c=7. Берём c=0,\ b=7, тогда a=113-77=36. Проверка: единиц 36+14=50, сумма 36+77=113 — сходится. Да.

б) Сумма 114 при n=50: вычитание даёт 9b+108c=64, а 64 на 9 не делится — нет. (То же видно по остаткам: 50 даёт остаток 5 по модулю 9, а 114 — остаток 6, они не совпадают.)

в) Нужна наибольшая четырёхзначная (то есть не больше 9999) сумма из 50 единиц. Выгоднее всего длинные куски: «1111» даёт целых 1111 за 4 единицы. Но девять «1111» — это уже 9999 и потрачено 36 единиц, а оставшиеся 14 единиц придётся ещё прибавить, и сумма перевалит за 9999 (станет пятизначной). Значит, кусков «1111» не больше восьми. Возьмём ровно восемь: 8\cdot 1111=8888, потрачено 32 единицы; осталось 18 единиц, и из них (уже без «1111») больше всего даёт «111» — шесть штук, это 18 единиц и 6\cdot 111=666. Итого 8888+666=9554. Больше среди четырёхзначных не выжать: чтобы превзойти 9554, понадобился бы девятый «1111», а он выводит за 9999. Ответ — 9554.