ID: 00022438
Источник: ФИПИ
Как и в похожих задачах, кусок из $k$ единиц — это число $1,11,111,1111,\dots$ Пусть $a,b,c,d$ — сколько взято кусков длины $1,2,3,4$. Тогда единиц $a+2b+3c+4d=50$, а сумма $a+11b+111c+1111d$. Удобный приём: разность «сумма минус число единиц» складывается из добавок каждого куска $11-2=9$, $111-3=108$, $1111-4=1107$ — все кратны $9$. Значит, сумма и $n$ дают одинаковый остаток при делении на $9$.
а) Сумма $113$ при $n=50$. Кусков длиннее $3$ нет ($1111>113$). Из $a+11b+111c=113$ и $a+2b+3c=50$ вычитанием: $9b+108c=63$, то есть $b+12c=7$. Берём $c=0,\ b=7$, тогда $a=113-77=36$. Проверка: единиц $36+14=50$, сумма $36+77=113$ — сходится. Да.
б) Сумма $114$ при $n=50$: вычитание даёт $9b+108c=64$, а $64$ на $9$ не делится — нет. (То же видно по остаткам: $50$ даёт остаток $5$ по модулю $9$, а $114$ — остаток $6$, они не совпадают.)
в) Нужна наибольшая четырёхзначная (то есть не больше $9999$) сумма из $50$ единиц. Выгоднее всего длинные куски: «$1111$» даёт целых $1111$ за $4$ единицы. Но девять «$1111$» — это уже $9999$ и потрачено $36$ единиц, а оставшиеся $14$ единиц придётся ещё прибавить, и сумма перевалит за $9999$ (станет пятизначной). Значит, кусков «$1111$» не больше восьми. Возьмём ровно восемь: $8\cdot 1111=8888$, потрачено $32$ единицы; осталось $18$ единиц, и из них (уже без «$1111$») больше всего даёт «$111$» — шесть штук, это $18$ единиц и $6\cdot 111=666$. Итого $8888+666=9554$. Больше среди четырёхзначных не выжать: чтобы превзойти $9554$, понадобился бы девятый «$1111$», а он выводит за $9999$. Ответ — 9554.