Опорный факт: сто различных натуральных чисел не могут в сумме дать меньше, чем 1+2+\dots+100=5050. У нас сумма 5120 — это всего на 70 больше минимума, поэтому набор «почти» совпадает с 1,2,\dots,100.

а) Пусть на доске есть 230. Тогда остальные 99 различных чисел дают в сумме 5120-230=4890. Но девяносто девять различных натуральных чисел не бывают меньше 1+2+\dots+99=4950, а 4950>4890 — противоречие. Числа 230 быть не может — нет.

б) Пусть числа 14 нет. Чтобы сумма была как можно меньше, возьмём 1,2,\dots,100, но вместо 14 поставим ближайшее свободное число 101. Такая сумма равна 5050-14+101=5137. Это наименьшая возможная сумма без числа 14, и она уже 5137>5120. Значит, до нашей суммы без 14 никак не «ужаться» — число 14 обязано быть, нет.

в) Отправная точка — набор 1,\dots,100 (сумма 5050); в нём кратны 14 семь чисел: 14,28,42,56,70,84,98. Наш запас на увеличение суммы — всего 70. Чтобы убрать кратное 14, приходится заменить его на число, которого ещё нет, а свободны только числа больше 100 (все места от 1 до 100, кроме самих кратных 14, заняты). Замена «убрали кратное m, внесли x>100» увеличивает сумму на x-m. Дешевле всего убирать самые большие кратные и вносить самые маленькие свободные: 98\to 101 даёт +3, 84\to 102 даёт +18, 70\to 103 даёт +33; вместе +54\le 70 — три кратных убрать успеваем (оставшиеся 16 доберём, чуть подняв одно число). А убрать четвёртое уже нельзя: даже самый выгодный обмен четырёх больших кратных 98,84,70,56 на четыре маленьких 101,102,103,104 добавляет 410-308=102>70 — в запас не помещается. Значит, меньше четырёх кратных 14 не бывает, а ровно четыре — достижимо. Ответ — 4.