ID: 00022437
Источник: ФИПИ
Опорный факт: сто различных натуральных чисел не могут в сумме дать меньше, чем $1+2+\dots+100=5050$. У нас сумма $5120$ — это всего на $70$ больше минимума, поэтому набор «почти» совпадает с $1,2,\dots,100$.
а) Пусть на доске есть $230$. Тогда остальные $99$ различных чисел дают в сумме $5120-230=4890$. Но девяносто девять различных натуральных чисел не бывают меньше $1+2+\dots+99=4950$, а $4950>4890$ — противоречие. Числа $230$ быть не может — нет.
б) Пусть числа $14$ нет. Чтобы сумма была как можно меньше, возьмём $1,2,\dots,100$, но вместо $14$ поставим ближайшее свободное число $101$. Такая сумма равна $5050-14+101=5137$. Это наименьшая возможная сумма без числа $14$, и она уже $5137>5120$. Значит, до нашей суммы без $14$ никак не «ужаться» — число $14$ обязано быть, нет.
в) Отправная точка — набор $1,\dots,100$ (сумма $5050$); в нём кратны $14$ семь чисел: $14,28,42,56,70,84,98$. Наш запас на увеличение суммы — всего $70$. Чтобы убрать кратное $14$, приходится заменить его на число, которого ещё нет, а свободны только числа больше $100$ (все места от $1$ до $100$, кроме самих кратных $14$, заняты). Замена «убрали кратное $m$, внесли $x>100$» увеличивает сумму на $x-m$. Дешевле всего убирать самые большие кратные и вносить самые маленькие свободные: $98\to 101$ даёт $+3$, $84\to 102$ даёт $+18$, $70\to 103$ даёт $+33$; вместе $+54\le 70$ — три кратных убрать успеваем (оставшиеся $16$ доберём, чуть подняв одно число). А убрать четвёртое уже нельзя: даже самый выгодный обмен четырёх больших кратных $98,84,70,56$ на четыре маленьких $101,102,103,104$ добавляет $410-308=102>70$ — в запас не помещается. Значит, меньше четырёх кратных $14$ не бывает, а ровно четыре — достижимо. Ответ — 4.