Числа и их… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00022436

Как и раньше, у чисел, выписанных по возрастанию, наименьшее произведение — у двух младших, наибольшее — у двух старших. Следим только за ними: младшее произведение должно быть больше $45$, старшее — меньше $120$.

а) Возьмём $7,8,9,10,11$. Наименьшее $7\cdot 8=56>45$, наибольшее $10\cdot 11=110<120$. Все прочие произведения между ними — значит, пять чисел есть, да.

б) Пусть чисел шесть: $a_1<\dots45$ и $a_5a_6<120$. Старшие числа малы: уже $11\cdot 12=132>120$, поэтому $a_6\le 12$. Если все шесть не больше $11$, среди них есть $a_1\le 6$, и (числа различны) $a_1a_2\le 6\cdot 7=42<45$ — плохо. Если $a_6=12$, то из $a_5\cdot 12<120$ следует $a_5\le 9$, тогда пять чисел не больше $9$, среди них $a_1\le 5$ и $a_1a_2\le 5\cdot 6=30<45$. Всюду противоречие — нет.

в) Для четырёх чисел: $a_1a_2>45$, $a_3a_4<120$; ищем наименьшую сумму. Хочется чисел поменьше, но пара младших обязана давать больше $45$. Возьмём $a_1=6$: тогда $a_2\ge 8$ (ведь $6\cdot 7=42<45$, а $6\cdot 8=48>45$). Дальше берём самые маленькие $a_3=9,\ a_4=10$: старшее $9\cdot 10=90<120$ — подходит. Набор $6,8,9,10$, сумма $6+8+9+10=33$. Меньше не получится: при $a_1=5$ нужно $a_2\ge 10$, тогда $a_3\ge 11,\ a_4\ge 12$ и $a_3a_4\ge 132>120$ — запрещено; а при $a_1=6$ меньше, чем $a_2=8$, не бывает, и $a_3+a_4\ge 9+10=19$. Наименьшая сумма — 33.