ID: 00022435
Источник: ФИПИ
Расставим числа по возрастанию $a_160$ (нижняя граница) и за произведением двух наибольших $<140$ (верхняя граница).
а) Возьмём пять чисел $8,9,10,11,12$. Наименьшее произведение $8\cdot 9=72>60$, наибольшее $11\cdot 12=132<140$; все остальные произведения между ними. Условие выполнено. Ответ: да.
б) Пусть чисел шесть: $a_160$ следует, что $a_2\ge 9$: иначе при $a_2\le 8$ было бы $a_1\le 7$ и $a_1a_2\le 7\cdot 8=56<60$. Тогда $a_3\ge 10$, $a_4\ge 11$, $a_5\ge 12$, $a_6\ge 13$, и произведение двух наибольших $a_5a_6\ge 12\cdot 13=156>140$ — нарушение верхней границы. Значит шести чисел быть не может. Ответ: нет.
в) Пусть чисел четыре, минимизируем их сумму. Числа не могут быть слишком маленькими (из-за $a_1a_2>60$) и слишком большими (из-за верхней границы 140). Если $a_1=7$, то $a_2\ge 9$ (ведь $7\cdot 8=56<60$, а $7\cdot 9=63>60$). Возьмём $7,9,10,11$: произведения $7\cdot 9=63$, $7\cdot 10=70$, $7\cdot 11=77$, $9\cdot 10=90$, $9\cdot 11=99$, $10\cdot 11=110$ — все между 60 и 140. Сумма $7+9+10+11=37$. Меньше не выйдет: число 6 требует партнёра не меньше 11 (ведь $6\cdot 11=66>60$), но тогда три остальных числа $\ge 11,12,13$ дают произведение $12\cdot 13=156>140$; а начиная с $a_1\ge 8$ минимальный набор $8,9,10,11$ уже даёт сумму 38. Значит наименьшая сумма — 37. Ответ: 37.