Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022433

Работаем с остатками. Среднее любых трёх целое — значит сумма любых трёх делится на 3. Возьмём две тройки, отличающиеся одним числом: их разность $x-y$ делится на 3, поэтому любые два числа дают одинаковый остаток по модулю 3. Аналогично из условия про пятёрки — одинаковый остаток по модулю 5. Значит все десять чисел сравнимы между собой по модулю $\mathrm{HOK}(3,5)=15$.

а) $305=15\cdot 20+5$ даёт остаток 5, а $1511=15\cdot 100+11$ даёт остаток 11. Остатки разные — вместе быть не могут. Ответ: нет.

б) Есть число 305, поэтому все числа дают остаток 5 по модулю 15. Пусть какое-то число $a$ и его квадрат $a^2$ оба на доске; тогда оба дают остаток 5. Но если $a\equiv 5\pmod{15}$, то $a^2\equiv 25\equiv 10\pmod{15}$, а не 5. Более того, квадраты по модулю 15 бывают только с остатками $0,1,4,6,9,10$ — пятёрки среди них нет. Значит квадрат никак не может дать остаток 5. Ответ: нет.

в) Числа $n$ и $n^2$ оба на доске, поэтому они сравнимы по модулю 15: $n^2\equiv n\pmod{15}$, то есть $n(n-1)$ делится на 15. Так как $15=3\cdot 5$, нужно, чтобы $n(n-1)$ делилось и на 3, и на 5. Перебираем $n\ge 2$: $n=6$ даёт $n(n-1)=6\cdot 5=30$ — делится на 15 (меньшие $n=2,3,4,5$ не подходят). При $n=6$: сами числа $6$ и $36$ дают один остаток $6$ по модулю 15, набор из десяти различных чисел с остатком 6 легко достроить ($6,21,36,51,\dots$). Значит наименьшее $n=6$. Ответ: 6.