Работаем с остатками. Среднее любых трёх целое — значит сумма любых трёх делится на 3. Возьмём две тройки, отличающиеся одним числом: их разность x-y делится на 3, поэтому любые два числа дают одинаковый остаток по модулю 3. Аналогично из условия про пятёрки — одинаковый остаток по модулю 5. Значит все десять чисел сравнимы между собой по модулю \mathrm{HOK}(3,5)=15.

а) 305=15\cdot 20+5 даёт остаток 5, а 1511=15\cdot 100+11 даёт остаток 11. Остатки разные — вместе быть не могут. Ответ: нет.

б) Есть число 305, поэтому все числа дают остаток 5 по модулю 15. Пусть какое-то число a и его квадрат a^2 оба на доске; тогда оба дают остаток 5. Но если a\equiv 5\pmod{15}, то a^2\equiv 25\equiv 10\pmod{15}, а не 5. Более того, квадраты по модулю 15 бывают только с остатками 0,1,4,6,9,10 — пятёрки среди них нет. Значит квадрат никак не может дать остаток 5. Ответ: нет.

в) Числа n и n^2 оба на доске, поэтому они сравнимы по модулю 15: n^2\equiv n\pmod{15}, то есть n(n-1) делится на 15. Так как 15=3\cdot 5, нужно, чтобы n(n-1) делилось и на 3, и на 5. Перебираем n\ge 2: n=6 даёт n(n-1)=6\cdot 5=30 — делится на 15 (меньшие n=2,3,4,5 не подходят). При n=6: сами числа 6 и 36 дают один остаток 6 по модулю 15, набор из десяти различных чисел с остатком 6 легко достроить (6,21,36,51,\dots). Значит наименьшее n=6. Ответ: 6.