Главная идея — арифметика остатков. Разберёмся, что даёт условие про средние. Если среднее любых четырёх чисел целое, то сумма любых четырёх делится на 4. Возьмём две четвёрки, отличающиеся одним числом: например, \{x,z_1,z_2,z_3\} и \{y,z_1,z_2,z_3\}. Обе суммы делятся на 4, значит их разность x-y делится на 4. Так любые два числа дают одинаковый остаток при делении на 4. Точно так же из условия про пятёрки любые два числа дают одинаковый остаток при делении на 5. Значит все десять чисел дают одинаковый остаток и по модулю 4, и по модулю 5, а тогда и по модулю \mathrm{HOK}(4,5)=20. Итог: все числа сравнимы между собой по модулю 20 (любые два отличаются на кратное 20).

а) 403=20\cdot 20+3 даёт остаток 3, а 2013=20\cdot 100+13 даёт остаток 13. Остатки разные, значит вместе эти числа быть не могут. Ответ: нет.

б) Раз есть число 403, все числа дают остаток 3 по модулю 20. А какие остатки по модулю 20 бывают у точных квадратов? Перебирая, получаем только 0,1,4,5,9,16. Остатка 3 среди них нет. Значит ни одно число с остатком 3 не может быть точным квадратом. Ответ: нет.

в) Есть число 1, у него остаток 1 по модулю 20, поэтому все числа дают остаток 1. Квадрат n^2 тоже должен давать остаток 1: n^2\equiv 1\pmod{20}. Перебираем n>1: 2^2=4, 3^2=9, ..., 8^2=64\equiv 4, 9^2=81\equiv 1 — впервые остаток 1 при n=9. Такой набор реально существует: числа с остатком 1 по модулю 20 — это 1,21,41,61,81,\dots, среди них есть и 1, и 81=9^2; наберём десять различных. Значит наименьшее n=9. Ответ: 9.