Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00022431

Как и в родственной задаче: каждое число от 1 до 5, количество по дням строго убывает, а сумма строго растёт. Пусть $c_i$ — количество, $s_i$ — сумма в $i$-й день; тогда $c_1&gt;c_2&gt;\dots$, $s_1</p><p><b>а)</b> Возьмём$n=6$. Пусть количества по дням равны$8,7,6,5,4,3$(убывают), а суммы —$8,9,10,11,12,13$(растут). Каждый день собирается: 1-й — восемь единиц (сумма 8); 6-й —$5,5,3$(сумма 13). Все числа меньше 6, количества убывают, суммы растут. Значит$n=6>5$возможно. Ответ: <b>да</b>.</p><p><b>б)</b> Хотим среднее первого дня меньше 3, а по всем дням больше 4. Возьмём 4 дня с количествами$13,12,11,10$и суммами$38,48,49,50$. Проверим: количества убывают, суммы растут, каждая сумма помещается между$c_i$и$5c_i$(например,$50=5\cdot 10$). Первый день: среднее$38/13\approx 2{,}92<3$— годится (можно взять двенадцать троек и одну двойку). Последний день: десять пятёрок (сумма 50). Общее среднее: сумма$38+48+49+50=185$, всего чисел$13+12+11+10=46$, среднее$185/46\approx 4{,}02>4$. Всё сходится. Ответ: <b>да</b>.</p><p><b>в)</b> В первый день сумма 6, числа от 1 до 5, значит в первый день от 2 до 6 чисел. Дальше количество строго убывает, сумма растёт; у последнего дня сумма больше 6, поэтому чисел в нём не меньше 2. Сделаем первый день из шести единиц ($c_1=6$). Возьмём количества$6,5,4,3$и суммы$6,13,14,15$(растут, и$15=5\cdot 3$). 2-й день:$5,5,1,1,1$(сумма 13); 3-й:$5,5,3,1$(сумма 14); 4-й:$5,5,5$(сумма 15). Итог:$6+13+14+15=48$. Больше не получится: последний день с наименьшим количеством ограничивает суммы сверху, и другие раскладки дают не больше 48. Ответ: 48.